Как такая, регистрация в данной платежной системе не предполагается. Считайте что ваш первый вход на сайт, и есть регистрация.
Посетите официальный сайт LiqPay:

Выберите Вход/Мой баланс или Получить 5 центов, вы будете перемещены сюда:

Введите номер вашего мобильного телефона в международном формате.
[код страны][код оператора][номер]
Должно выйти примерно так: 380685555555, если вы из Украины, и ваш оператор Билайн.
Жмете Подтвердить и через несколько секунд, на указанный номер придет SMS сообщение, содержащее пароль для входа.
Тем временем, картинка на экране монитора станет такой:

Введите полученный SMS сообщением пароль, нажмите Подтвердить
Вы в своем аккаунте:

Первым делом, вам нужно заполнить некоторые данные, что бы иметь возможность пользоваться всеми функциями системы в дальнейшем.
Выберите в верхнем меню Мой LiqPay а за тем Персональные Данные:

Укажите ваше имя, другой номер телефона, номер ICQ или ник в Skype, ваш E-mail и домашний адрес. По желанию, загрузите фото.

На этой ноте, «регистрация» полностью завершена.